Funkcja okresowa

Z Wikipedii

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja okresowa – intuicyjnie, funkcja, której wartości "powtarzają się" cyklicznie w nieskończoność (ścisła definicja poniżej). Klasycznym przykładem jest funkcja sinus:

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

[edytuj] encyklopedia sztuki
Definicja dla funkcji liczbowych

Niech $D\subset\mathbb{R}$ oraz niech $f\colon D\to\mathbb{R}$ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze $D$ . Okresem funkcji $f$ nazywamy dowolną liczbę $T$ różną od zera (niekiedy zakłada się, że $T > 0$ ) o następujących własnościach:

dla dowolnej liczby $x\in D$ , również liczby $x + T, x - T$ należą do $D$ (niekiedy opuszcza się warunek $x-T\in D$ ) oraz
dla każdego $x\in D$ zachodzi równość $f (x + T) = f (x)$ .

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową; funkcję o okresie $T$ nazywa się czasem skrótowo funkcją $T$ -okresową. Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji $f$ istnieje najmniejszy, nazywamy go okresem podstawowym (lub zasadniczym). Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji Dirichleta, danej wzorem

$f(x) = \left \{ \begin{matrix} 1, & \mbox{gdy }x\mbox{ wymierne} \\ 0, & \mbox{gdy }x\mbox{ niewymierne} \end{matrix} \right.$ ,

okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę $x$ , dla której wyrażenie $f (x)$ ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla $x + T$ , a w konsekwencji i dla $x + 2 T$ , $x + 3 T$ itd. (oraz $x - T$ , $x - 2 T$ itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by $x-T\in D$ (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji $f$ powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku $f (x - T) = f (x)$ ; kładąc bowiem $x - T$ zamiast $x$ w warunku 2, otrzymujemy $f (x) = f ((x - T) + T) = f (x - T)$ .

Jeśli T jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby T też jest okresem funkcji.

[edytuj] encyklopedia sztuki
Definicja dla półgrup

Niech $(G, * )$ będzie półgrupą, a $f\colon G\to Y$ funkcją określoną na $G$ . Jeśli istnieje taki element $T$ w $G$ (nie będący elementem neutralnym), że $f (x * T) = f (x)$ dla dowolnego $x\in G$ , to nazywamy go okresem funkcji $f$ , a samą funkcję nazywamy okresową.

Zauważmy, że powyższa definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bowiem tym razem nie założyliśmy istnienia odpowiednika liczby $x - T$ . Jeśli $G$ jest grupą, to oczywiście warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym) oraz że w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

[edytuj] encyklopedia sztuki
Przykłady funkcji okresowych

Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne ( $2π$ -okresowe sinus, kosinus, sekans, kosekans, oraz $\! \pi$ -okresowe tangens, kotangens), funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera), funkcja wykładnicza rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych, której okresem podstawowym jest $2π i$ .