Funkcjonał dwuliniowy

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Macierz
- 3.1 Definicja
- 3.2 Twierdzenie
4 Rząd
- 4.1 Definicja
- 4.2 Poprawność definicji
5 Twierdzenie o postaci analitycznej
- 5.1 Dowód
6 Określoność
7 Zobacz też

Funkcjonał dwuliniowy (forma dwuliniowa) – w algebrze dwuliniowej dwuargumentowy funkcjonał liniowy ze względu na każdą zmienną, znalazł także zastosowanie w rachunku wariacyjnym i analizie funkcjonalnej.

[edytuj] encyklopedia sztuki
Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ . Funkcjonałem dwuliniowym (formą dwuliniową) określonym na $V$ nazywamy takie odwzorowanie $B\colon V \times V \to K$ , że dla każdego $x, y, z \in V$ oraz $c \in K$ zachodzi:

1) $B(x + y, z) = B(x, z) + B(y, z),\; B(cx, y) = cB(x, y)$ ,

2) $B(x,y + z) = B(x, y) + B(x, z),\; B(x, cy) = cB(x, y)$ .

Jeśli ponadto

3)

B (x, y) = B (y, x)

,

to $B$ nazywamy funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym (formą dwuliniową symetryczną).

Jeżeli

3')

B (x, y) = - B (y, x)

,

to $B$ nazywamy funkcjonałem dwuliniowym antysymetrycznym (formą dwuliniową antysymetryczną).

Jeśli ponadto

4)

B (x, x) = 0

,

to $B$ nazywamy funkcjonałem dwuliniowym alternującym (formą dwuliniową alternującą).

[edytuj] encyklopedia sztuki
Przykłady

Funkcjonał zerowy: $Z\colon V \times V \to K,\; Z(x, y) = 0,\quad x, y \in V$ .
Zwykły iloczyn skalarny $\langle\cdot, \cdot\rangle\colon \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R$ .
Ustalmy $A \in K_n^n$ i rozważmy $M\colon V \times V \to K$ określony $M(\textbf x, \textbf y) = \textbf x^TA \textbf y, \quad \textbf x, \textbf y \in K^n$ .
$I\colon C[a,b] \times C[a,b] \to \mathbb R$ określony $I(f, g) = \int\limits_a^b~f(x)g(x)dx,\quad f, g \in C[a,b]$ .

[edytuj] encyklopedia sztuki
Macierz

[edytuj] encyklopedia sztuki
Definicja

Niech $\dim V=n$ oraz $\mathcal A = (x_1, \ldots, x_n)$ będzie bazą $V$ . Macierz $\mathrm B = [b_{ij}] \in K^n_n, b_{ij} = B(x_i, x_j),\; i, j \in \{1, \ldots, n\}$ nazywamy macierzą funkcjonalu dwuliniowego $B$ w bazie $\mathcal A$ .

[edytuj] encyklopedia sztuki
Twierdzenie

Jeśli $B$ jest macierzą dwuliniowego funkcjonału $B$ w bazie $\mathcal A$ i ponadto $A = P T BP$ , gdzie $\mathrm P \in \operatorname{GL}(n, K)$ . Wówczas $A$ jest macierzą $B$ w pewnej bazie, gdzie $\operatorname{GL}(n, K)$ oznacza pełną grupę liniową.

[edytuj] encyklopedia sztuki
Rząd

Rozważamy tylko przestrzenie skończeniewymiarowe.

[edytuj] encyklopedia sztuki
Definicja

Niech $\mathrm B \in K_n^n$ macierzą funkcjonału dwuliniowego $B$ w pewnej bazie. Wówczas rząd macierzy $B$ nazywamy rzędem funkcjonału dwuliniowego $B$ i oznaczamy go podobnie przez $\operatorname{rk}\;B, \operatorname{rz}\;B$ lub $r (B)$ .

[edytuj] encyklopedia sztuki
Poprawność definicji

Rząd funkcjonału nie zależy od wyboru bazy przestrzeni.
Funkcjonał dwuliniowy nazywamy nieosobliwym, gdy macierz $B$ jest nieosobliwa.
Funkcjonał dwuliniowy nazywamy symetrycznym, gdy macierz $B$ jest symetryczna.
Funkcjonał dwuliniowy nazywamy niezdegenerowanym gdy macierz $B$ jest symetryczna i nieosobliwa. Jest to równoważne z warunkiem, że $\forall_{0\neq x\in V}\exists_{y\in V} B(x, y)\neq 0$ oraz $B$ jest symetryczny.

[edytuj] encyklopedia sztuki
Twierdzenie o postaci analitycznej

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową $n$ -wymiarową nad ciałem $K$ oraz $B\colon V\times V\to K$ będzie funkcjonałem dwuliniowym, zaś $\mathrm B = [b_{ij}] \in K^n_n$ macierzą $B$ w bazie $(x_1, \ldots, x_n)$ przestrzeni $V$ .

Jeśli $x, y \in V$ oraz

$x = \sum_{i=1}^n~a_i x_i,\; y = \sum_{j=1}^n~c_j x_j$ ,

dla pewnych $a_1,\ldots, a_n, c_1, \ldots, c_n\in K$ , to

$B(x, y) = \begin{bmatrix}a_1 & \ldots & a_n\end{bmatrix} \cdot \mathrm B \cdot \begin{bmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}$ .

[edytuj] encyklopedia sztuki
Dowód

$\begin{array}{lcl}B(x, y)& = &B\left(\sum_{i=1}^n~a_i x_i, \sum_{j=1}^n~c_j x_j\right) \\ & =& \sum_{i=1}^n~a_i B\left(x_i, \sum_{j=1}^n~c_j x_j\right) \\ &= & \sum_{i=1}^n~a_i \left(\sum_{j=1}^n~c_j B(x_i, x_j)\right)\\ & = &\sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^n a_i b_{ij} c_j\end{array}$