Stożek (geometria)

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Rodzaje stożków

Uwaga: informacje na tej stronie na razie dotyczą tylko stożka kołowego prostego. Ogólny stożek nie musi być kołowy (może mieć w podstawie elipsę, patrz: stożek eliptyczny), ani prosty (rzut jego wierzchołka nie musi znajdować się w środku ciężkości podstawy).

Stożek prosty

schemat stożka prostego

Stożek (dawniej konus) to bryła wypukła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna ta tworzy wysokość (h) stożka, druga przyprostokątna staje się promieniem podstawy (r) zaś przeciwprostokątna – tworzącą stożka (l).

Stożek w pewnym kartezjańskim układzie współrzędnych opisany jest układem nierówności:

$\left\{ {{x^2 +y^2 \le \left(\frac{zr}{h}\right)^2}\atop {0\le z\le h}}\right.$

gdzie $r>0,\ h>0$

[edytuj] encyklopedia sztuki
Długość tworzącej stożka

$l=\sqrt{h^2+r^2}$

[edytuj] encyklopedia sztuki
Pole podstawy stożka

$\mathcal{P}_p=\pi r^2$

[edytuj] encyklopedia sztuki
Pole powierzchni bocznej stożka

$\mathcal{P}_b=\pi r l$

Wzór ten można uzyskać w następujący sposób: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek kołowy o promieniu $R=l\;$ takim jak tworząca stożka i długości łuku równej obwodowi podstawy stożka $L=2\pi r\;$

Wycinek kołowy o promieniu $R\;$ i długości łuku $L\;$ ma pole powierzchni^[1]:

$\mathcal{P}=\frac{1}{2}LR$

Stąd

$\mathcal{P}_b=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}2\pi rl=\pi rl$

[edytuj] encyklopedia sztuki
Pole powierzchni całkowitej stożka

$\mathcal{P}_c = \mathcal{P}_p + \mathcal{P}_b$

[edytuj] encyklopedia sztuki
Objętość stożka

$V={1 \over 3}\mathcal{P}_p h$

Wzór ten obowiązuje także dla dowolnych ostrosłupów, $\mathcal{P}_p$ jest wtedy polem wielokątnej podstawy. Koło jest granicznym przypadkiem ciągu wielokątów foremnych dla liczby boków dążącej do nieskończoności.